TESI DI LAUREA DI
FEDERICO AMATO
RELATORE
G. MASSIMO PALMA
SALVATORE LORENZO
Questo è solo un riassunto tradotto in italiano della tesi.
La tesi completa (in inglese) in PDF è disponibile presso questo link.
Potete trovare invece la versione PDF di questo riassunto a questo link.
Costruire migliori modelli teorici per costruire migliori esperimenti concreti o strumenti richiede di far cadere approssimazioni e semplificazioni. Quando si rigetta l’idea che un sistema possa essere isolato dal proprio ambiente circostante, si entra nel reame dei sistemi quantistici aperti.
Nella meccanica quantistica, l’informazione su un sistema aperto fluisce verso l’ambiente esterno e viene perduta. Le interazioni con questo ambiente cambiano drasticamente la dinamica dei sistemi, e l’equazione di Schrödinger’s non è più valida. Il sistema e il suo ambiente devono essere trattati come un unico sistema entangled 1 Non esiste ancora una formula generica che descriva la dinamica irreversibile che governa questi sistemi.
L’obiettivo di questa tesi è di svelare le proprietà di un peculiare sistema quantistico aperto: il fasonio. Investigato primamente da Scully e Zubairy (1997, p. 221), il fasonio mostra proprietà sorprendenti e interessanti legate alla coerenza quantistica. Fu introdotto come un insieme di atomi a tre livelli in configurazione sigma, come si può vedere in Figura 1: un livello eccitato e due livelli ground degeneri o quasi, con una certa coerenza tra questi due. Questi atomi termici con la loro fase di coerenza mostrano un indice di rifrazione migliorato per risonanza, senza assorbimento (Scully e Zubairy, 1997). Possono per questo essere visti come un nuovo stato della materia, chiamato fasonio proprio per l’importanza che ha la fase di coerenza nel determinare le sue proprietà.
Come mostrato in un successivo lavoro di Scully et al. (2003), un campo di cavità immerso in un gas di fasonio termalizza a una temperatura che dipende dai parametri del solo bagno termico: il rapporto tra le popolazioni dello stato eccitato e degli stati ground e la fase di coerenza tra gli stati ground. La fase del fasonio può quindi essere usata per regolare la temperatura di un sistema, con notevoli conseguenze tecnologiche. Nello stesso articolo è infatti provato come se ne può estrarre lavoro con un singolo bagno termico: La fase tra gli stati del bagno termico si usa come parametro di controllo per modellare una macchina di Carnot quantistica. In più, l’efficienza di tale macchina è potenzialmente più grande di quella di una macchina di Carnot classica, sempre in base alla fase caratteristica del bagno. Ciò rimane consistente con la seconda legge della termodinamica poiché l’entropia del sistema complessivo aumenta sempre durante il processo. Tuttavia, come mostrato nell’articolo, la coerenza quantistica permette di oltrepassare i limti classici in opere ingegneristiche.
Il Capitolo 1 di questa tesi presenta una volta per tutte le nozioni preliminari, la notazione e le formule da conoscere per procedere in seguito in maniera più fluida alla disseratazione vera e propria.
Nel Capitolo 2 vorremmo quindi andare più a fondo nello studio del bagno di fasonio, mirando a dare una descrizione esaustiva della dinamica assunta da una cavità immersa in esso. Non solo vogliamo caratterizzare lo stato stazionario termico della cavità, ma descrivere anche come il sistema aperto raggiunge quello stato. Nella Sezione 2.1 daremo maggiore rigore nella descrizione del sistema e del bagno termico nei rispettivi spazi di Hilbert e dell’interazione tra i due. Daremo quindi nelle Sezioni 2.2 e 2.3 una Master Equation (ME) che governa la dinamica del sistema. Ritroveremo l’espressione dello stato stazionario della cavità nella Sezione 2.4, imponendo che questo stato non evolva nel tempo. Troveremo la ME sia per interazioni brevi col gas, per interazioni arbitrariamente lunghe. Per trovare l’ultima nel Capitolo 3 riscriveremo la serie temporale dell’operatore di evoluzione temporale in una forma compatta, applicandolo quindi al sistema complessivo per vederne l’effetto sulla cavità. Questa distinzione nei tempi di interazione rivela una una caratteristica cruciale nella modellizazione delle dinamiche dei sistemi aperti ed ambienti.
Ci sono, infatti, diversi apparati teorici per trattare queste interazioni sistema-bagno.
Tra tutti i tentativi di affrontare tali dinamiche sistema-bagno a livello microscopico, si inserisce la classe dei modelli collisionali (CM) o schemi di interazione ripetuta. Questi modelli sono semplici e tuttavia potenti nelle loro capacità predittive. Il bagno di fasonio si addice bene alle assunzioni richieste da un CM, ricordando sempre che questo rappresenta un modello approssimato. Rilasseremo solo una assunzione trovando la ME per interazioni arbitrariamente lunghe, e ovviamente proveremo la riunificazione di questo modello con la normale teoria dei CM che prevede tempi di interazione brevi.
Questo studio fornirà gli strumenti per sviluppare una teoria completa di un micromaser a fasonio (phasermaser?); ma questo va oltre gli scopi di questa tesi.
Ancora, nel Capitolo 4 andremo avanti con la teoria introducendo una seconda cavità immersa nel fasonio. La teoria dei CM ammette la possibilità di avere tali sistemi multipartiti chiamati sistemi a cascata, nei quali le collisioni del bagno con i sotto-sistemi procedono in una direzione fissata, in sequenza, come si può meglio capire dalla Figura 2.
L'unidirezionalità è una caratteristica distintiva dei modelli collisionali, e vedremo come ne sarà affetto il nostro sistema bipartito. Nelle Sezioni 4.1 e 4.2 daremo una ME complessiva per il sistema composto, e nella Sezione 4.3 otterremo da questa ME le dinamiche ridotte dei sotto-sistemi a cascata. Il primo sistema interagisce con l’ambiente non influenzato dall’altro sistema; il secondo, invece, interagisce con un bagno che è già entrato in contatto con il primo, al quale si è quindi correlato. Le dinamiche ridotte saranno quindi profondamente differenti, con il secondo sistema che diventa entangled col primo in evoluzione. Cercheremo ancora uno stato stazionario per il sistema totale, ed estrarremo da questo due stati stazionari locali per le due cavità. Ci chiederemo quindi se sia possibile o meno indurre una differenza di temperatura stazionaria tra le cavità. Questo sarebbe desiderabile in quanto fornirebbe una seconda via per estrarre lavoro da un singolo bagno termico.
Invertendo la dinamica dei valori d’aspettazione di un generico operatore dei sotto-sistemi, saremo in grado nella Sezione 4.4 di dare una ME anche per il valor medio di questi operatori: primi tra tutti, questa ME può caratterizzare l’evoluzione dei valori di aspettazione della posizione e del momento generalizzati.
Di fatto, lavorando con questi sistemi infinito-dimensionali, sarà utile passare a una descrizione nello spazio delle fasi, considerando in particolare la natura Gaussiana di questi sistemi. Nella Sezione 4.5 restringeremo l’attenzione alla matrice di covarianza del sistema composito, latrice di tutta l’informazione riguardante le correlazioni e l’entanglement. Vedremo risolvendo le equazioni del moto per le covarianze che uno stato stazionario diagonale viene alfine raggiunto. Lavorando con stati Gaussiani, useremo la matrice di covarianza per quantificare e seguire l’evoluzione dell’entanglement del sistema a cascata e delle correlazioni che si vengono a creare tra i sotto-sistemi.
Cercheremo di mostrare meno algebra possibile, trattenendo solo i risultati importanti nella discussione e relegando i calcoli più tediosi nelle Appendici.
Presentiamo qui una breve lista dei risultati ottenuti.
Per prima cosa, usando un Modello Collisionale per il campo di cavità immerso nel fasonio, si ottiene la Master Equation che descrive la dinamica aperta del sistema. Questa è data dalla formula:
\[ \begin{split} \frac{\Delta\rho_{n+1}}{\Delta t} = (\hbar\Omega)^2\Delta t &\Big( \gamma_\alpha(\hat{a}^\dagger \rho_{n} \hat{a} -\tfrac{1}{2}\left[\hat{a}\hat{a}^\dagger, \rho_{n}\right]_+) \\ &+ \gamma_\beta(\hat{a} \rho_{n} \hat{a}^\dagger -\tfrac{1}{2}\left[\hat{a}^\dagger\hat{a}, \rho_{n}\right]_+)\Big) \end{split} \]
In questa equazione compaiono diverse quantità:
\(\rho_n\) è l’Operatore Densità che descrive lo stato del campo di cavità al passo \(n\);
\(t\) è il tempo, piccolo, tra una interazione con l’ancella e la seguente;
\(\hbar\) è la costante di Plank e vale \(1,054\times10^{-34}J\cdot s\);
\(\gamma_\alpha = 2\left|\alpha\right|^2\), dove \(\left|\alpha\right|^2\) è la popolazione dello stato eccitato dell’ancella;
\(\gamma_\beta = \left|\beta\right|^2(1+\cos\phi)\), dove \(\left|\beta\right|^2\) è la popolazione degli stati ground dell’ancella;
\(\hat{a}^\dagger\) e \(\hat{a}\) sono gli Operatori di Creazione e Annichilazione di un fotone nella cavità;
\(\left[\cdots, \cdots\right]_+\) è l’anticommutatore tra due Operatori.
Inoltre per \(\Delta\rho_{n+1}\) si intende \( \rho_{n+1} - \rho_n \).
Si pone quindi che uno stato stazionario per questa Master Equation
esista: detto
\(\rho^*\) questo stato, deve quindi
valere:
\[ \frac{\Delta\rho^*_{n+1}}{\Delta t} = 0 , \]
da cui si può anche omettere l’indice
\(n\). Se questo esiste, si può
mostrare che deve essere diagonale e nella forma di uno stato di
Gibbs, inserendo una opportuna
temperatura effettiva dipendente dalla fase di coerenza
\(KT(\phi)=-\hbar\omega /
\ln\left(\frac{\gamma_\alpha}{\gamma_\beta}\right)\). Questo stato avrà quindi la forma:
\[ \rho^* = \begin{pmatrix} \frac{1}{Z} & 0 & 0 & \cdots & 0 &
\cdots\\ 0 & \frac{1}{Z}\frac{\gamma_\alpha}{\gamma_\beta} & 0 &
\cdots & 0 & \cdots\\ 0 & 0 &
\frac{1}{Z}\left(\frac{\gamma_\alpha}{\gamma_\beta}\right)^2 &
\cdots & 0 &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & \cdots
\\ 0 & 0 & 0 & &
\frac{1}{Z}\left(\frac{\gamma_\alpha}{\gamma_\beta}\right)^n &
\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & \ddots \end{pmatrix}
\]
oppure, in funzione della temperatura effettiva:
\[ \rho^* = \begin{pmatrix} \frac{1}{Z} & 0 & 0 & \cdots & 0 &
\cdots\\ 0 & \frac{1}{Z}e^{-\frac{\hbar\omega}{KT}} & 0 & \cdots & 0
& \cdots\\ 0 & 0 & \frac{1}{Z}e^{-\frac{2\hbar\omega}{KT}} & \cdots
& 0 &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & \cdots \\ 0 & 0
& 0 & & \frac{1}{Z}e^{-\frac{n\hbar\omega}{KT}} & \cdots \\ \vdots &
\vdots & \vdots & & & \ddots \end{pmatrix} \]
È importante notare che un tale stato esiste solo se il rapporto tra i
coefficienti
\(\gamma_\alpha/\gamma_\beta\) è
minore di uno, altrimenti si avrebbe uno stato divergente e delle
temperature negative. Questo riflette la condizione che lo stato
stazionario si può raggiungere solo se il pompaggio energetico causato
dalla popolazione eccitata dell’ancella non sia troppo grande rispetto
al decadimento causato dalle popolazioni ground. Con questa premessa,
questo stato è raggiunto indipendemente dallo stato di partenza della
cavità. Il sistema è detto quindi mixing. La temperatura del
sistema si può trovare dal logaritmo del rapporto tra i primi due
elementi diagonali dello stato stazionario
\(\rho_{(00)}^*/\rho_{(11)}^*\):
vediamo in
Figura 3
come questo rapporto converga allo stesso valore per diversi stati di
partenza della cavità.
Dimenticando ora l’approssimazione di interazioni brevi richiesta dal
Modello Collisionale, abbiamo bisogno dell’Operatore completo di
Evoluzione Temporale. Questo si ricava in termini di tre nuovi
operatori fotonici:
\[ \hat{C} = \cos(\theta\sqrt{2\hat{a}\hat{a}^\dagger}), \] \[
\hat{C}' = \tfrac{1}{2}\cos(\theta\sqrt{2\hat{a}^\dagger\hat{a}}),
\] \[ \hat{S} =
\hat{a}^\dagger\frac{\sin(\theta\sqrt{2\hat{a}\hat{a}^\dagger})}{\sqrt{2\hat{a}\hat{a}^\dagger}}
\]
e vale:
\[ e^{i\theta V_n} = \begin{pmatrix} \hat{C} & i \hat{S}^\dagger &
i \hat{S}^\dagger \\ i\hat{S} & \hat{C}' + \tfrac{1}{2}\mathbb{I} &
\hat{C}' - \tfrac{1}{2}\mathbb{I} \\ i\hat{S} & \hat{C}' -
\tfrac{1}{2}\mathbb{I} & \hat{C}' + \tfrac{1}{2}\mathbb{I}
\end{pmatrix}\]
Da questo si ricava la Mappa Collisionale che regola l’evoluzione
della cavità:
$$\begin{split} \rho_{n+1} =& Tr_\eta\left\{ \hat{U}_{n+1}\rho_n\eta_{n+1}\hat{U}_{n+1}^\dagger\right\} \\ =& \alpha^2 (\hat{C}\rho_n\hat{C} + 2 \hat{S}\rho_n\hat{S}^\dagger) + \frac{\beta^2}{2}(1+\cos\phi)(2\hat{C'}\rho_n\hat{C'} + 2\hat{S}^\dagger\rho_n\hat{S}) \ &+ \frac{\beta^2}{2}(1-\cos\phi)\rho_n \end{split}$$
Inserendo infine una seconda cavità subito dopo la prima, in modo che
le ancelle le attraversino una di seguito all’altra, si ottiene un
sistema a cascata, da trattare con un Modello Collisionale
considerando una interazione divisa in due tempi: una prima
interazione col primo sistema e una seconda interazione col secondo,
speculari. Il sistema a cascata dovrà essere descritto da un unico
Operatore densità \(\rho\) a causa
dell’entanglement tra i due. Al primo sistema stavolta apparterrano
gli operatori di creazione e annichilazione
\(\hat{a}^\dagger\) e
\(\hat{a}\), mentre quelli del secondo
saranno \(\hat{b}^\dagger\) e
\(\hat{b}\). Si ottiene così la Master
Equation a cascata:
\[ \label{eq:cascade_meq} \begin{split} \frac{\Delta\rho_{n+1}}{\Delta t}= \frac{(\hbar\Omega)^2\Delta t}{4} & \Big( \frac{\gamma_\alpha-\gamma_\beta}{2}\left( \left[\hat{a}^\dagger\hat{b} - \hat{a}\hat{b}^\dagger, \rho_n\right] \right)\\ & + \gamma_\alpha\left((\hat{a}^\dagger+\hat{b}^\dagger) \rho_n (\hat{a} + \hat{b}) -\tfrac{1}{2}\left[ (\hat{a}+\hat{b})(\hat{a}^\dagger+\hat{b}^\dagger), \rho_n \right]_+ \right) \\ &+ \gamma_\beta\left((\hat{a}+\hat{b}) \rho_n (\hat{a}^\dagger + \hat{b}^\dagger) -\tfrac{1}{2}\left[ (\hat{a}^\dagger+\hat{b}^\dagger)(\hat{a}+\hat{b}), \rho_n \right]_+ \right) \Big) \end{split} \]
Da questa equazione si può ritrovare la
dinamica della prima cavità
da sola, tracciando via i gradi di libertà della seconda cavità.
Questo perché la prima “non vede” la seconda. D’altronde le cose sono
diverse per la seconda cavità, la cui dinamica è profondamente
influenzata dalla prima e non si può trovare una Master Equation
chiusa per questa, che non contenga informazione sulla
precedente cavità. Si trova così la caratteristica
unidirezionalità di questi sistemi a cascata.
L’evoluzione entangled di queste cavità si può seguire meglio considerando la matrice di covarianza del sistema. Per stati Gaussiani, generati da Hamiltoniane quadratiche come quelle delle nostre cavità, la matrice di covarianza è sufficiente a darne una descrizione completa. La matrice di covarianza \(\sigma\) è così definita: \[ \sigma\equiv \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} \mqty{ \ev{\hat{q}_1^2} & \ev{\frac{\hat{q}_1\hat{p}_1+\hat{p}_1\hat{q}_1}{2}} \\[10pt] \ev{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1+\hat{q}_1\hat{p}_1}{2}} & \ev{\hat{p}_1^2} } & \mqty{ \ev{\hat{q}_1\hat{q}_2} & \ev{\hat{p}_1\hat{q}_2} \\[10pt] \ev{\hat{q}_1\hat{p}_2} & \ev{\hat{p}_1\hat{p}_2} } \\[10pt] \hline \mqty{ \ev{\hat{q}_1\hat{q}_2} & \ev{\hat{p}_1\hat{q}_2} \\[10pt] \ev{\hat{q}_1\hat{p}_2} & \ev{\hat{p}_1\hat{p}_2} } & \mqty{ \ev{\hat{q}_2^2} & \ev{\frac{\hat{q}_2\hat{p}_2+\hat{p}_2\hat{q}_2}{2}} \\[10pt] \ev{\frac{\hat{p}_2\hat{q}_2+\hat{q}_2\hat{p}_2}{2}} & \ev{\hat{p}_2^2} } \end{array} \end{pmatrix} \]
Dalla Master Equation del sistema a cascata si può ricavare una
equazione del moto per la matrice covarianza, che si può porre nella
forma:
\[ \dot{\sigma} = M\sigma+\sigma M^T + N \] dove \(M, N\) sono due matrici \(4\times4\) dipendenti dai fattori \(\gamma_\alpha\) e \(\gamma_\beta\): \[ M = \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{4} \Gamma(\gamma_\alpha-\gamma_\beta) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}\Gamma(\gamma_\alpha-\gamma_\beta) & 0 & 0 \\ \frac{1}{2}\Gamma(\gamma_\alpha-\gamma_\beta ) & 0 & \frac{1}{4} \Gamma (\gamma_\alpha-\gamma_\beta) & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\Gamma(\gamma_\alpha-\gamma_\beta) & 0 & \frac{1}{4}\Gamma(\gamma_\alpha-\gamma_\beta) \end{array} \right) \] e \[ N = \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{4}\Gamma(\gamma_\alpha+\gamma_\beta) & 0 & \frac{1}{4} \Gamma(\gamma_\alpha+\gamma_\beta) & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \Gamma(\gamma_\alpha+\gamma_\beta) & 0 & \frac{1}{4}\Gamma(\gamma_\alpha+\gamma_\beta) \\ \frac{1}{4}\Gamma(\gamma_\alpha+\gamma_\beta) & 0 & \frac{1}{4} \Gamma(\gamma_\alpha+\gamma_\beta) & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}\Gamma(\gamma_\alpha+\gamma_\beta) & 0 & \frac{1}{4}\Gamma(\gamma_\alpha+\gamma_\beta) \end{array} \right) \]
Richiedendo ancora che \(\gamma_\alpha\lt\gamma_\beta\) per evitare divergenze, come per lo stato stabile di una cavità, possiamo lasciare evolvere la matrice di covarianza e vedere che solo i termini diagonali sopravvivono mentre gli altri svaniscono a tempi lunghi. In Figura 4 e Figura 5 rappresentiamo questa evoluzione per due diversi stati di partenza del sistema a cascata: uno stato termico e uno stato di vuoto.
Evoluzione temporale della Matrice di Covarianza di uno stato termico. La matrice iniziale ha la forma diagonale \(n+1\)\mathbb{I}/2, dove \(n\) è il numero medio di fotoni termici in ciascuna cavità. In questo esempio \(n=1\).
Evoluzione temporale della Matrice di Covarianza di uno stato di vuoto. La matrice iniziale ha la forma diagonale \(\mathbb{I}/2\).
Dalla figura si vede come i termini diagonali raggiungano tutti lo stesso valore, e questo è legato alla temperatura di ciascuna cavità: la somma dei primi due termini diagonali è \(\ev{\hat{q}_1^2} + \ev{\hat{p}_1^2} = \ev{n_1} + 1\), e per i successivi vale \(\ev{\hat{q}_2^2} + \ev{\hat{p}_2^2} = \ev{n_2} + 1\), dove \(n_1\) ed \(n_2\) sono i fotoni termici nelle rispettive cavità. Lo stato diagonale finale indica così uno stato termico non correlato delle due cavità, che raggiungono la stessa temperatura finale, ancora dettata dallo stato delle ancelle. Le correlazioni si creano durante l’evoluzione, ma muoiono mentre il primo sistema raggiunge il suo stato stabile e smette di scambiare informazioni col secondo attraverso le ancelle.
Grazie alle proprietà degli stati Gaussiani, dalla matrice di covarianza si possono ricavare quantità come la purezza, l’entropia e la mutua informazione. Si ricavano le evoluzioni temporali di queste quantità per i tre stati iniziali termico, di vuoto e random, rappresentate in Figura 6 e Figura 7.
Evoluzione temporale di: A) Entropia del sistema composto \(\rho_{AB}\) e dei due sottosistemi \(\rho_A\) e \(\rho_B\), B) Purezza del sistema e C) Mutua Informazione del sistema, per uno stato iniziale termico.
Evoluzione temporale di: A) Entropia del sistema composto \(\rho_{AB}\) e dei due sottosistemi \(\rho_A\) e \(\rho_B\), B) Purezza del sistema e C) Mutua Informazione del sistema, per uno stato iniziale di vuoto.
Queste quantità forniscono maggiore informazioni sul tipo di dinamica: l’entropia del processo tende ad aumentare mentre la purezza diminuisce, tranne nel caso dello stato random altamente entropico e impuro. Questo suggerisce che l’informazione si distribuisce tra i due sistemi, che devono essere trattati come un unico sistema composto. D’altronde, si può vedere come nel momento in cui l’entropia del primo sistema smette di variare, ovvero il primo sistema ha raggiunto la stabilità, la mutua informazione tra le due cavità comincia a decrescere, segno che le ancelle smettono di interagire col primo sistema e non ne portano più l’informazione al secondo, che proseguirà da solo la sua evoluzione fino al raggiungimento della sua stabilità.
In questa tesi sono state discusse alcune delle proprietà di un sistema quantistico aperto in un bagno termico di fasonio, usando un approccio collisionale. Ciò richiede che il bagno interagisca col sistema solo a intervalli di tempo discreti tramite una raccolta di ancelle elementari. Per assicurare la Markovianicità dell’evoluzione bisogna supporre che le interazioni tra sistema e bagno siano unidirezionali, ovvero che ogni ancella interagisca solo una volta col sistema e che non interagisca mai con le altre ancelle. In più, il sistema e l’ambiente devono inizialmente essere scorrelati.
Il modello collisionale ci ha fornito un semplice modello per studiare le dinamiche dissipative del nostro sistema, un campo di cavità, accoppiato al bagno di fasonio, composto da sistemi lambda a tre livelli. Considerando interazioni brevi e a coppie, siamo stati in grado di scrivere una Master Equation discreta per un modo di cavità. In approssimazione di coarse-graining (grana grossa) abbiamo anche ricavato una equazione differenziale continua del moto per la matrice di densità della cavità. Questa Master Equation ricorda quella di un micromaser, se non per la fase di coerenza tra gli stati ground che appare nei tassi di decadimento del Dissipatore. Questa fase è una caratteristica centrale nella descrizione dei fenomeni legati al fasonio, come si vede per esempio dallo stato termico stazionario.
Sotto certe ipotesi, le dinamiche del sistema sono di mixing: bisogna richiedere che le ancelle siano preparate in uno stato misto nel quale la popolazione dello stato eccitato è inferiore al prodotto delle popolazioni degli stati ground e il fattore di fase. In questo modo evitiamo di avere un pompaggio infinito di energia nella cavità. Quando questa assunzione è vera, in qualunque stato la cavità cominci la sua evoluzione, il sistema finirà nello stesso stato termico stazionario. La temperatura effettiva di questo stato dipende solo dallo stato dell’ancella, ed è proporzionale al rapporto tra le popolazioni degli stati eccitato e ground e al fattore di fase.
Abbiamo quindi rilassato l’assunzione iniziale di collisioni brevi, considerando la completa espansione dell’operatore di evoluzione temporale in funzione del tempo. Scrivendo questa nella base dell’ancella abbiamo trovato una espressione più semplice per l’operatore esponenziale in termini di tre operatori, funzioni dell’operatore numero del sistema.
Infine abbiamo lasciato che le ancelle sperimentassero una seconda collisione con un secondo sistema posto dopo il primo, ottenendo un sistema di due campi di cavità a cascata. Abbiamo quindi considerato una interazione a coppie divisa in due momenti, con la quale abbiamo ottenuto una Master Equation per il sistema a cascata usando gli stessi ragionamenti applicati con un sistema, ed esteso anche questa a una ME continua nel tempo. Qui abbiamo visto come l’unidirezionalità del modello collisionale a cascata influenza i nostri risultati. Mentre le due cavità diventano entangled tramite l’azione di ogni ancella, possiamo recuperare solo per il primo sistema la ME tipica di un singolo sistema immerso nel fasonio. Al contrario, la dinamica del secondo sistema in ogni momento è strettamente legata allo stato del primo sistema in quel momento.
Dall’evoluzione del sistema composito siamo stati in grado di trovare una ME simile per i valori medi degli operatori delle cavità. Abbiamo usato queste equazioni per risolvere l’evoluzione della matrice di covarianza, sia nella base delle quadrature che degli operatori bosonici. Da questa abbiamo trovato che il sistema a cascata ammette uno stato termico stazionario simmetrico, dipendente ancora dallo stato delle ancelle. Questo è dovuto al primo sistema che ha raggiunto per primo il suo stato stazionario e lascia passare le ancelle quasi inalterate rispetto a come furono preparate. Queste ancelle sono quindi tutte identiche quando collidono col secondo sistema. Pertanto il secondo sistema è adesso nelle stesse condizioni di una singola cavità in un bagno di fasonio, col proprio stato termico stazionario. Non siamo quindi in grado di creare una differenza di temperatura stabile tra i sistemi.
Le nostre conclusioni riguardo lo stato stazionario del sistema a cascata sono confermati dallo studio della matrice di covarianza, che caratterizza completamente gli stati Gaussiani del sistema a cascata. Risolvendo le equazioni del moto dei suoi elementi, abbiamo mostrato come il sistema raggiunge lo stato termico stazionario. In più, la matrice di covarianza ci da informazioni su come il sistema diventa entangled e come l’entropia aumenta durante le interazioni col fasonio, finché lo stato stazionario non è raggiunto. La prima cavità raggiunge la stazionarietà prima della seconda, che continua ad evolvere “da sola”: quando le ancelle smettono di interagire col primo sistema stabile, le correlazioni tra i due sottosistmi svaniscono.
Come da ipotesi, la dinamica del sistema è infatti priva di memoria: lo stato del sistema a uno step dipende solo dal suo stato allo step precedente. Quando il primo sotto-sistema smetta di partecipare all’evoluzione, il secondo presto perde informazioni su di esso. Si potrebbero trovare risultati più interessanti se fossimo in grado in futuro di rilassare questa ipotesi e trattare una dinamica non-Markoviana.
-
Mentre il tempo per finire questa tesi si esaurisce, il primo ringraziamento va al Signor Bongiovì, che per tutta la mia carriera universitaria si è occupato di ricordarmi tutte le scadenze di cui non ero a conoscenza, compresa quest’ultima. Hanno contribuito a farmi laureare anche tutti i cari colleghi sempre più informati di me. Grazie Edoardo, Gabriele, la Cicciari, eccetera...
Ringrazio quindi i professori Lorenzo e Palma che mi hanno aiutato a stilare questa tesi, e spero un giorno di essere come loro e trattare i piccoli fisici come loro hanno fatto con me. Con loro, ringrazio anche tutti gli altri professori che mi hanno insegnato e mi hanno aiutato a imparare, il professore Cupane, Messina, la professoressa Cottone e la professoressa Tinniriello, Antonino e Daniele Croce, e il caro professore Spagnolo.
Ringrazio poi i nonni, che dall’alto della loro saggezza mi hanno saputo comunicare una visione diversa del mondo. Ringrazio mamma che è una mia grande fan e mi condivide su Facebook, e ringrazio papà, che per aiutarmi in una delle poche cose in cui non poteva aiutarmi, mi ha aiutato in tutte le cose in cui poteva farlo. Ringrazio lo zio Gianluca che ha sempre provato a sentirmi al telefono, e per fortuna qualche volta c’è riuscito, e ringrazio tutti gli altri zii e parenti e Vale, e Bea e Ruggero, che pur non essendo fisici mi dicono sempre come stai, come va, bene, bravo; che fa sempre piacere. Ringrazio la mia Giulietta.
Ringrazio tanti altri, tutti quelli che mi hanno accompagnato sin qui e mi hanno fatto divertire: ringrazio gli amici, Zicari, il Monti, Romano, Salvo, Daniele, Sofia ed Enrico. Ringrazio la grande famiglia della Canottieri Palermo, a partire da Beni ed Alberto, ma anche Alfonso e tutti i Marinai, che mi hanno cresciuto sano e resiliente. Il resto dei nomi dei Canottieri con cui ho sudato e riso insieme è forse troppo lungo da includere, ma se lo meritano tutti: il buon Totò, Manfredi Russo, lo zio DeSimone, Tony Passalacqua e Pillitteri, Ciccio Ciccio, Emilio, il professor Angelo, Viviana, Marta, Calicchio, Zangla, le LoBue Sisters e il LoBue Ciccio, Luca, Walter, Mario, le SellyPelly, Pietro Prugna, Ciskiletto e suo fratello Elia... e poi tutti i più piccini come i più grandini, i master e i soci.
Specialmente ringrazio il CEO di Consorzia, Stefano D’Angelo, che rientra in quasi tutte le categorie ringraziate sopra.
Ultimi ma non per importanza ringrazio tutti quelli che mi sono dimenticato di ringraziare, e in generale ringrazio tutti quelli che mi hanno sostenuto, che hanno creduto in me anche senza conoscermi troppo, che mi hanno fatto giusto un complimento, come capitava qualche volta che facesse Dario Duca, o Ciro, Patrizia, qualche genitore o amico di famiglia.
Insomma grazie a te, lettore, che sarai arrivato sin qui leggendo tutta questa lunga dissertazione teorica su un sistema quantistico.